Натуральный логарифм

Методы

Обратите внимание, что тригонометрические функции (, , , , , и ) принимают в параметрах или возвращают углы в радианах. Для преобразования радианов в градусы, поделите их на величину ; для преобразования в обратном направлении, умножьте градусы на эту же величину

Обратите внимание, что точность большинства математических функций зависит от реализации. Это означает, что различные браузеры могут дать разные результаты, более того, даже один и тот же движок JavaScript на различных операционных системах или архитектурах может выдать разные результаты

Возвращает абсолютное значение числа.

Возвращает арккосинус числа.

Возвращает гиперболический арккосинус числа.

Возвращает арксинус числа.

Возвращает гиперболический арксинус числа.

Возвращает арктангенс числа.

Возвращает гиперболический арктангенс числа.

Возвращает арктангенс от частного своих аргументов.

Возвращает кубический корень числа.

Возвращает значение числа, округлённое к большему целому.

Возвращает количество ведущих нулей 32-битного целого числа.

Возвращает косинус числа.

Возвращает гиперболический косинус числа.

Возвращает Ex, где x — аргумент, а E — число Эйлера (2,718…), основание натурального логарифма.

Возвращает , из которого вычли единицу.

Возвращает значение числа, округлённое к меньшему целому.

Возвращает ближайшее число с плавающей запятой одинарной точности, представляюще это число.

Возвращает квадратный корень из суммы квадратов своих аргументов.

Возвращает результат умножения 32-битных целых чисел.

Возвращает натуральный логарифм числа (log_e, также известен как ln).

Возвращает натуральный логарифм числа (log_e, также известен как ln).

Возвращает десятичный логарифм числа.

Возвращает двоичный логарифм числа.

Возвращает наибольшее число из своих аргументов.

Возвращает наименьшее число из своих аргументов.

Возвращает основание в степени экспоненты, то есть, значение выражения .

Возвращает псевдослучайное число в диапазоне от 0 до 1.

Возвращает значение числа, округлённое до ближайшего целого.

Возвращает знак числа, указывающий, является ли число положительным, отрицательным или нулём.

Возвращает синус числа.

Возвращает гиперболический синус числа.

Возвращает положительный квадратный корень числа.

Возвращает тангенс числа.

Возвращает гиперболический тангенс числа.

Возвращает строку .

Возвращает целую часть числа, убирая дробные цифры.

Непрерывные дроби

Хотя для представления логарифма отсутствуют простые непрерывные дроби, но можно использовать несколько обобщённых непрерывных дробей, в том числе:

log⁡(1+x)=x11−x22+x33−x44+x55−⋯=x1−x+12×2−1x+22×3−2x+32×4−3x+42×5−4x+⋱{\displaystyle \log(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\dots ={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}}

log⁡(1+2xy)=2xy+x1+x3y+2×1+2x5y+3×1+⋱=2xy+x−(1x)23(y+x)−(2x)25(y+x)−(3x)27(y+x)−⋱{\displaystyle \log \left(1+{\frac {2x}{y}}\right)={\cfrac {2x}{y+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{3y+{\cfrac {2x}{1+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(y+x)-\ddots }}}}}}}}}

Перевод «Ln-N-Out» на русский язык:

Перевод «Ln-N-Out» на Английский, Немецкий, Итальянский, Французский, Испанский, Португальский, Польский, Казахский, Украинский

Модуль decimal

Последнее обновление: 02.05.2017

При работе с числами с плавающей точкой (то есть float) мы сталкиваемся с тем, что в результате вычислений мы получаем не совсем верный результат:

number = 0.1 + 0.1 + 0.1
print(number)       # 0.30000000000000004

Проблему может решить использование функции round(), которая округлит число. Однако есть и другой способ,
который заключается в использовании встроенного модуля decimal.

Ключевым компонентом для работы с числами в этом модуле является класс Decimal. Для его применения нам надо создать его объект
с помощью конструктора. В конструктор передается строковое значение, которое представляет число:

from decimal import Decimal

number = Decimal("0.1")

После этого объект Decimal можно использовать в арифметических операциях:

from decimal import Decimal

number = Decimal("0.1")
number = number + number + number
print(number)       # 0.3

В операциях с Decimal можно использовать целые числа:

number = Decimal("0.1")
number = number + 2

Однако нельзя смешивать в операциях дробные числа float и Decimal:

number = Decimal("0.1")
number = number + 0.1	# здесь возникнет ошибка

С помощью дополнительных знаков мы можем определить, сколько будет символов в дробной части числа:

number = Decimal("0.10")
number = 3 * number
print(number)       # 0.30

Строка «0.10» определяет два знака в дробной части, даже если последние символы будут представлять ноль. Соответственно «0.100» представляет три знака в дробной части.

Округление чисел

Объекты Decimal имеют метод quantize(), который позволяет округлять числа. В этот метод в качестве первого аргумента передается
также объект Decimal, который указывает формат округления числа:

from decimal import Decimal

number = Decimal("0.444")
number = number.quantize(Decimal("1.00"))
print(number)       # 0.44

number = Decimal("0.555678")
print(number.quantize(Decimal("1.00")))       # 0.56

number = Decimal("0.999")
print(number.quantize(Decimal("1.00")))       # 1.00

Используемая строка «1.00» указывает, что округление будет идти до двух знаков в дробной части.

По умолчанию округление описывается константой ROUND_HALF_EVEN, при котором число округляется в большую сторону, если оно нечетное, а предыдущее перед ним больше 4.
Например:

from decimal import Decimal, ROUND_HALF_EVEN


number = Decimal("10.025")
print(number.quantize(Decimal("1.00"), ROUND_HALF_EVEN))       # 10.02

number = Decimal("10.035")
print(number.quantize(Decimal("1.00"), ROUND_HALF_EVEN))       # 10.04

Стратегия округления передается в качестве второго параметра в quantize.

Строка «1.00» означает, что округление будет идти до двух чисел в дробной части. Но в первом случае «10.025» — вторым знаком идет 2 — четное число, поэтому, несмотря на то, что следующее число 5,
двойка не округляется до тройки.

Во втором случае «10.035» — вторым знаком идет 3 — нечетное число, поэтому оно округляется до 4.

Данное поведение при округлении, возможно, не всем покажется желательным, и в этом случае его можно переопределить, использовав одну из следующих констант:

• ROUND_HALF_UP: округляет число в сторону повышения, если после него идет число 5 или выше

• ROUND_HALF_DOWN: округляет число в сторону повышения, если после него идет число больше 5

  number = Decimal("10.026")
  print(number.quantize(Decimal("1.00"), ROUND_HALF_DOWN))       # 10.03
  
  number = Decimal("10.025")
  print(number.quantize(Decimal("1.00"), ROUND_HALF_DOWN))       # 10.02
  

• ROUND_05UP: округляет только 0 до единицы, если после него идет 5

  number = Decimal("10.005")
  print(number.quantize(Decimal("1.00"), ROUND_05UP))       # 10.01
  
  number = Decimal("10.025")
  print(number.quantize(Decimal("1.00"), ROUND_05UP))       # 10.02
  

• ROUND_CEILING: округляет число в большую сторону вне зависимости от того, какое число идет после него

  number = Decimal("10.021")
  print(number.quantize(Decimal("1.00"), ROUND_CEILING))       # 10.03
  
  number = Decimal("10.025")
  print(number.quantize(Decimal("1.00"), ROUND_CEILING))       # 10.03
  

• ROUND_FLOOR: не округляет число вне зависимости от того, какое число идет после него

  number = Decimal("10.021")
  print(number.quantize(Decimal("1.00"), ROUND_FLOOR))       # 10.02
  
  number = Decimal("10.025")
  print(number.quantize(Decimal("1.00"), ROUND_FLOOR))       # 10.02
  

НазадВперед

Определение

ln(a) определяется как площадь под кривой f(x) = 1/x от 1 до a.

Формально ln(a) может быть определён как площадь, заключённая под кривой графика 1/x на участке от 1 до a, т. е. как интеграл:

ln⁡a=∫1a1xdx.{\displaystyle \ln a=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}

Это действительно логарифм, поскольку он удовлетворяет фундаментальному свойству логарифма:

ln⁡ab=ln⁡a+ln⁡b{\displaystyle \ln ab=\ln a+\ln b}.

Это можно продемонстрировать, допуская t=xa{\displaystyle t={\frac {x}{a}}} следующим образом:

ln⁡ab=∫1ab1xdx=∫1a1xdx+∫aab1xdx=∫1a1xdx+∫1b1tdt=ln⁡a+ln⁡b{\displaystyle \ln ab=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln a+\ln b}

Число e может быть определено как единственное действительное число a такое, что ln(a) = 1.

Или же, если показательная функция была определена раньше с использованием бесконечных рядов, натуральный логарифм может быть определён как обратная к ней функция, т. е. ln — это функция, такая что eln⁡(x)=x{\displaystyle e^{\ln(x)}=x}. Так как диапазон значений экспоненциальной функции от реальных аргументов есть все положительные вещественные числа, а экспоненциальная функция строго возрастает, то это хорошо определённая функция для всех положительных x.

Natural logarithm rules and properties

Logarithm product rule

The logarithm of the multiplication of x and y is the sum of logarithm of x and logarithm of y.

log_b(x ∙ y) = log_b(x) + log_b(y)

For example:

log₁₀(3 ∙ 7) = log₁₀(3) + log₁₀(7)

Logarithm quotient rule

The logarithm of the division of x and y is the difference of logarithm of x and logarithm of y.

log_b(x / y) = log_b(x) — log_b(y)

For example:

log₁₀(37) = log₁₀(3) — log₁₀(7)

Logarithm power rule

The logarithm of x raised to the power of y is y times the logarithm of x.

log_b(x y) = y ∙ log_b(x)

For example:

log₁₀(28) = 8∙ log₁₀(2)

Derivative of natural logarithm

The derivative of the natural logarithm function is the reciprocal function.

When

f (x) = ln(x)

The derivative of f(x) is:

f ‘ (x) = 1 / x

Integral of natural logarithm

The integral of the natural logarithm function is given by:

When

f (x) = ln(x)

The integral of f(x) is:

∫ f (x)dx = ∫ln(x)dx =
x ∙ (ln(x) — 1) + C

Ln of 0

The natural logarithm of zero is undefined:

ln(0) is undefined

The limit near 0 of the natural logarithm of x, when x approaches zero, is minus infinity:

The natural logarithm of one is zero:

ln(1) = 0

lim ln(x) = ∞, when x→∞

Основные свойства логарифмов

Логарифмы можно преобразовывать, но для этого необходимо знать правила, которые называются основными свойствами логарифмов. Данные свойства обязательно нужно знать каждому ученику! Без знания этих свойств невозможно решить ни одну серьезную логарифмическую задачу. Вот эти свойства:

Совет – тренируйтесь применять эти свойства в обе стороны, то есть как слева направо, так и справа налево!

Рассмотрим свойства логарифмов на примерах.

Логарифмический ноль и логарифмическая единица

Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти  простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.

Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:

log_a a = 1 – это логарифмическая единица.

Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a = 1:

log_a 1 = 0 – логарифмический ноль.

Основное логарифмическое тождество

В первой формуле число m становится степенью, которая стоит в аргументе. Данное число может быть любым. Некоторые выражения могут быть решены только с помощью этого тождества.

Вторая формула по сути является просто переформулированным определением логарифма

Разберем применение тождества на примере:

Необходимо найти значение выраженияСначала преобразуем логарифм

Вернемся к исходному выражению и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:Теперь применим основное логарифмическое  тождество и получим:

Сумма логарифмов. Разница логарифмов

Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать:Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать:Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!

Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!

Вынесение показателя степени из логарифма:

Переход к новому основанию

Когда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию

Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Разберем на примере.

Необходимо найти значение такого выраженияДля начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:

Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма:Подставим полученные результаты в исходное выражение: